Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax^2 + bx + с, где x - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Чтобы разложить трехчлен на множители, нужно знать корни этого трехчлена. (далее пример на трехчлене 5х^2 + 3х- 2)

Заметим: значение квадратного трёхчлена 5х^2 + 3х - 2 зависит от значения х. Например: Если х = 0, то 5х^2 + 3х - 2 = -2 

Если х = 2, то 5х^2 + 3х - 2 = 24 

Если х = -1, то 5х^2 + 3х - 2 = 0 

При х = -1 квадратный трёхчлен 5х^2 + 3х - 2 обращается в нуль, в этом случае число -1 называют корнем квадратного трёхчлена.

 

                                                              Как получить корень уравнения

 

Поясним, как мы получили корень этого уравнения. Для начала необходимо четко знать теорему и формулу, по которой мы будем работать:

 

“Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2 + bx + c, то ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)”.

Х = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

 

Это формула нахождения корней многочлена является самой примитивной формулой, решая по которой вы никогда не запутаетесь.

Выражение 5х^2 + 3х – 2.

 

1. Приравниваем к нулю: 5х^2 + 3х – 2 = 0

 

2. Находим корни квадратного уравнения, для этого подставляем значения в формулу ( а – коэффициент при Х^2, b – коэффициент при Х, свободный член, то есть цифра без Х):

 

Первый корень находим со знаком плюс перед корнем квадратным: 

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9  -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10 ) = 0,4

 

Второй корень со знаком минус перед корнем квадратным:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10 ) = -1

 

Вот мы и нашли корни квадратного трехчлена. Чтобы убедиться, что они верные, можно сделать проверку: сначала подставляем первый корень в уравнение, затем второй: 

1) 5х^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0 

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2 - 2 = 0

0 = 0

 

2) 5х^2 + 3x – 2 = 0 

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0 

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

0 = 0

 

Если при подстановке всех корней уравнение обращается в ноль, значит уравнение решено верно. 

 

3. Теперь воспользуемся формулой из теоремы : ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), помним, что Х1 и Х2 – это корни квадратного уравнения. Итак: 5х^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5х^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

 

4. Чтобы убедиться в правильности разложения можно просто перемножить скобки:

5(х - 0,4)(х + 1) = 5(х^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 +3 – 2. Что подтверждает правильность решения.

 

                                          Второй вариант нахождения корней квадратного трехчлена

 

Еще один вариант нахождения корней квадратного трехчлена - теорема обратная теореме Виетта. Здесь корни квадратного уравнения находятся по формулам: x1 + x2 = -(b), х1 * х2 = с. Но важно понимать, что данной теоремой можно пользоваться только в том случае, если коэффициент а = 1, то есть число, стоящее перед х^2 = 1.

 

Например: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Решаем: х1 + х2 = - (-2), х1 + х2 = 2

х1*х2 = 1.

 

Теперь важно подумать, какие числа в произведении дают единицу? Естественно это 1 * 1 и -1 * (-1). Из этих чисел выбираем те, которые соответствую выражению х1 + х2 = 2, конечно же - это 1 + 1. Вот мы и нашли корни уравнения: х1 = 1, х2 = 1. Это легко проверить, если подставить в выражение x^2 – 2x + 1 = 0.