Выпуклый многоугольник: теорема и задача
Выпуклый многоугольник
Геометрическая фигура, составленная из отрезков AB,BC,CD, .., EF, FA таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек, называется многоугольником.
Концы данных отрезков, точки A,B,С, D, …, E,F называются вершинами многоугольника, а сами отрезки AB,BC,CD, .., EF, FA – сторонами многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он по одну сторону от каждой прямой, которая проходит через две его смежные вершины. На рисунке ниже представлен выпуклый многоугольник:
А следующий рисунок иллюстрирует невыпуклый многоугольник:
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине будет называться угол, образованный сторонами этого многоугольника, сходящимися в данной вершине. Внешним углом выпуклого многоугольника в некоторой вершине называется угол смежный с внутренним углом многоугольника при данной вершине.
Теорема: Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180˚ *(n-2)
Доказательство: рассмотрим выпуклый n-угольник. Чтобы найти сумму всех внутренних углов, соединим одну из вершин многоугольника с другими вершинами.
В результате получим (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. А так как их количество в многоугольнике (n-2), то сумма углов многоугольника равна 180˚ *(n-2). Это и требовалось доказать.
Задача:
Найти сумму углов выпуклого a) пятиугольник б) шестиугольника в)десятиугольника.
Решение:
Воспользуемся формулой для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.
а) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.
б) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.
в) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.
Ответ: а) 540˚. б) 720˚. в) 1440˚.