Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.  

​

                                                       Свойства четности и периодичности

 

Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

 

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

 

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

 

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

 

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.

 

                                                     Свойства нечетности и периодичности

 

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

 

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

 

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.

 

                                               Периодичность тригонометрических функций

 

Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т !=0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

 

Следует понимать, что если Т - период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

 

Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.

 

Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.