Решение тригонометрических уравнений и систем тригонометрических уравнений основывается на решении простейших тригонометрических уравнений.

 

Напомним основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

 

                                                           Решение уравнений вида sin(x) = a.

 

При |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

При |a|>1 решений не существует.

 

                                                          Решение уравнений вида cos(x) = a.

 

При |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

При |a|>1 решений не существует.

 

                                                           Решение уравнений вида tg(x) = a.

 

x = arctg(a) + π*k, где k принадлежит Z.

 

                                                           Решение уравнений вида ctg(x) = a.

 x = arcctg(a)+ π*k, где k принадлежит Z.

 

Некоторые частые случаи:

 

sin(x) =1; x = π/2 +2* π*k, где k принадлежит Z.

 

sin(x) = 0; x = π*k, где k принадлежит Z.

 

sin(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, где k принадлежит Z.

 

cos(x) = 1; x = 2* π*k, где k принадлежит Z.

 

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, где k принадлежит Z.

 

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, где k принадлежит Z.

 

Рассмотрим несколько примеров:

 

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.

Уравнения такого вида решаются сведение к квадратному уравнению заменой переменной.

Пусть у = sin(x). Тогда получаем,

2*y^2 + y - 1 = 0.

Решаем полученное увадратное уравнение одним из известных способов.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Следовательно, получаем два простейших тригонометрических уравнения которые решаются по формулам, указанным выше.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, длю любого целого k.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, где n принадлежит Z.

 

Пример 2. Решить уравнение 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.

По основному тригонометрическому тождеству заменяем (sin(x))^2 на 1 - (cos(x))^2

Получаем квадратное уравнение относительно cos(x):

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

Вводим замену y=cos(x).

6*y^2 - 5*y - 4 = 0.

Решаем полученное квадратное уравнение y1 = -1/2, y2 = 1(1/3).

Так как y = cos(x), а косинус не может быть больше единицы, получаем одно простейшее тригонометрическое уравнение.

cos(x) = -1/2.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, при любом целом k.

 

Пример 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

Введем переменную y = tg(x). Тогда 1/y = ctg(x). Получаем

у+2*(1/y) = 3.

Умножаем на y не равное нулю, получаем квадратное уравнение.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Решаем его:

y = 2, y = 1.

tg(x) = 2, x = arctg(2)+pi*k, для любого целого k.

tg(x) = 1, x = arctg(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, для любого целого k.

Пример 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Это уравнение сводится к квадратному делением либо на (cos(x))^2, либо на (sin(x))^2. При делении на (cos(x)^2 получим

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, для любого целого n

tg(x) = 1/3, x = arctg(1/3) + pi*k, для любого целого k.

 

Пример 4. Решить систему уравнений

{x-y = 5*pi/3,

{ sin(x) = 2*sin(y)

Из пергового уравнения выразим y,

y = x-5*pi/3.

Тогда получим, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5*pi/3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Подставляем это во второе уравнение системы получим cos(x) = 0, x = pi/2 + pi*n, для любого целого n.

Теперь находим y,

y = x - 5*pi/3 = pi/2 + pi*n – 5*pi/3 = -7*pi/6 + pi*n, для любого целого n.

Ответ: (pi/2+pi*n; -7*pi/6 + pi*n), для любого целого n.