Формула Ньютона - Лейбница: примеры вычисления интегралов
Формула Ньютона - Лейбница
Пусть на некотором отрезке [a;b] оси Ох задана некоторая непрерывная функция f. Положим, что эта функция не меняет своего знака на всем отрезке.
Если f есть непрерывная и неотрицательная на некотором отрезке [a;b] функция, а F есть её некоторая первообразная на этом отрезке, тогда площадь криволинейной трапеции S равна приращению первообразной на данном отрезке [a;b].
Эту теорему можно записать следующей формулой:
S = F(b) – F(a)
Интеграл функции f(x) от а до b будет равен S. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись (a;b)∫f(x). Ниже представлен пример как это будет выглядеть.
Формула Ньютона-Лейбница
Значит, мы можем приравнять между собой эти два результата. Получим: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), при условии, что F есть первообразная для функции f на [a;b]. Эта формула имеет название формулы Ньютона – Лейбница. Она будет верна для любой непрерывной на отрезке [a;b] функции f.
Формула Ньютона-Лейбница применяется для вычисления интегралов. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1: вычислить интеграл. Находим первообразную для подынтегральной функции x2. Одной из первообразных будет являться функция (x3)/3.
Теперь используем формулу Ньютона – Лейбница:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Ответ: (-1;2)∫x2dx = 3.
Пример 2: вычислить интеграл (0;pi)∫sin(x)dx.
Находим первообразную для подынтегральной функции sin(x). Одной из первообразных будет являться функция –cos(x). Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Ответ: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Иногда для простоты и удобства записи приращение функции F на отрезке [a;b] (F(b)-F(a)) записывают следующим образом:
Используя такое обозначение для приращения, формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в следующем виде:
Как уже отмечалось выше, это лишь сокращение для простоты записи, больше ни на что эта запись не влияет. Эта запись и формула (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) будут эквивалентны.
