Иррациональные уравнения: алгоритм решения и примеры
Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых под знаком корня будет содержаться переменная, называются в математике иррациональными. Примером иррационального уравнения может служить следующее уравнение:
3√x - 5 = 0.
Для наглядности изложения рассмотрим следующий пример: решить уравнение √(x^2 - 5) = 2. Сначала необходимо избавиться от корня. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
x^2 – 5 = 4.
Приведем подобные слагаемые, получим x^2 = 9. Корнями этого уравнения будут числа x = 3 и x = -3. Если подставить эти числа в исходное уравнение, то получим верные равенства:
√(3^2 - 5) = 2,
√((-3)^2 - 5) = 2.
Следовательно, x = 3 и x = -3 будут являться корнями этого уравнения.
Ответ: х = 3, х = -3.
Примеры решения иррациональных уравнений
Но не всегда уравнения решаются так просто. Рассмотрим следующий пример: решить уравнение √x = x - 2. Возводим по аналогии обе части этого уравнения в квадрат. Получаем x = x^2 - 4*x + 4.
Приводим подобные слагаемые и получаем следующее квадратное уравнение x^2 - 5*x - 4 = 0. Решаем это уравнение любым из известных способов, получаем два корня x = 1 и x = 4. Подставим эти корни в наше исходное уравнение, тем самым выполним проверку.
√4 = 4 - 2.
Получилось верное равенство следовательно х = 4 является корнем этого уравнения.
Подставляем 1:√1 = -1. В левой части получили отрицательное число -1, а в правой единицу. Равенство не выполняется. Следовательно, х = 1 не является корнем этого уравнения.
Ответ: х = 4.
Таким образом, мы убедились, что при решении иррациональных уравнений могут получиться побочные корни. И все решения полученные решения необходимо проверять.
Также уравнение может не иметь решений. Например, следующее уравнение √(x - 6) = √(4 - x) при решении дает один корень: х = 5. Но если его подставить, то не получится верного равенства. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Бывают случаи, когда удобнее не подставлять полученные корни, а сразу решать уравнение, используя равносильные переходы. Пример: решить уравнение √(x - 2) = x - 8
По определению √(x - 2) не может быть отрицательным числом. Следовательно, и правая часть уравнения не может быть отрицательной. Тогда исходное уравнение равносильно следующей системе:
{ x - 2 = (x - 8)^2
{ x - 8 > = 0.
Решим первое уравнение системы. Оно будет равносильно квадратному уравнению x^2 -17*x + 66 = 0. Решив его, получим корни х = 11 и x = 6. Условие, записанное во втором неравенстве системы, будет выполнено только для корня х = 11. Следовательно, это и будет ответом уравнения.
Ответ: х = 11.