аx = b - простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.

 

                                                     Решение показательных уравнений

 

Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами.

 

Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b

 

Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения.

 

Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a

 

Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение ax = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице.

 

Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = ac.

 

Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения ax = ac.

 

Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5(x2 - 2*x - 1) = 25.

 

Представим 25 как 52, получим:

5(x2 - 2*x - 1) = 52.

 

Или что равносильно :

x2 - 2*x - 1 = 2.

 

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

 

Решим уравнение 4x – 5*2x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2x и получим следующее квадратное уравнение:

t2 - 5*t + 4 = 0.

 

Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2x = 1 и 2x = 4.

Ответ: 0;2.

 

                                                       Решение показательных неравенств

 

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции.

 

Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения.

 

Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a<1, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

 

Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5)(7 - 3*x) < 4.

 

Заметим, что 4 = (0.5)2. Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5)(-2). Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

 

Получим: 7 - 3*x>-2.

Отсюда: х<3.

Ответ: х<3.

 

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.