В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно.

 

Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

 

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = ex в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e∆x-1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

 

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом. Обозначается ln(x) = loge(x).

 

                                                       Производная показательной функции

 

Теорема: Функция ex дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (ex)’ = ex.

Показательная функция ax дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (ax)’ = (ax)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

 

Пример: найти производную функции y = 2x.

 

По формуле производной показательной функции получаем:

(2x)’ = (2x)*ln(2).

Ответ: (2x)*ln(2).

 

                                                      Первообразная показательной функции

 

Для показательной функции ax заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (ax)/(ln(a)).
ln(a) – некоторая постоянная, тогда (ax / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (ax) * ln(a) = ax для любого х. Мы доказали эту теорему.

 

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

 

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5x. Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5x) / (ln(5)) +C.

Ответ: (5x) / (ln(5)) + C.