Рассмотрим уравнение ax = b, при a > 0 и a не равном единице. Это уравнение не имеет решений при b меньшем либо равным нулю. И имеет единственное решение при b > 0. Данное решение называют логарифмом b по основанию a b и обозначают следующим образом:

loga(b)

 

Логарифмом числа b по основанию f называется показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получилось число b.

a(loga(b)) = b.

 

Данная формула называется основным логарифмическим тождеством. Она верна для любого положительного не равного единице a, и любого положительного b.

 

                                                                   Примеры логарифмов

 

Рассмотрим несколько примеров:

 

1. Найти значение log2(32). 32 можно представить как 25. То есть для того, чтобы нам получить число 32, необходимо двойку возвести в пятую степень. Следовательно, log2(32) = 5.

 

2. Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3. Так как (√3)4 = 1/9, получаем, что log√3(1/9) = -4.

 

3. Найти х такое, что будет верно неравенство: log8(x) = 1/3. Применим основное логарифмическое тождество:

x = 8(log8(x)) = 8(1/8) = 2.

 

                                                                     Свойства логарифмов

 

У логарифмов есть несколько свойств, которые прямо следуют из свойств показательной функции. Основные свойства логарифмов:

1. loga(1) = 0; 

2. loga(a) = 1;

3. loga(x*y) = loga(x) + loga(x) - логарифм произведения равен сумме логарифмов;

4. logx(x/y) = loga(x) - loga(y) - логарифм частного равен разности логарифмов;

5. loga(xp) = p* loga(x) - логарифм степени будет равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

 

Приведенные выше свойства будут справедливы для любого положительного числа а, не равного единице, любых положительны x и y, и любого действительного p.

 

Для логарифмов существует формула перехода к новому основанию:

loga(x) = (logb(x))/(logb(a)).

 

Данная формула будет иметь смысл лишь в том случае, когда обе её части будут иметь смысл. То есть должны выполняться следующие условия:

x > 0, a > 0,b > 0, a не равно единице, b не равно единице.

 

Логарифмы основанием которых является число 10, называются десятичными логарифмами. Логарифмы, основанием которых является число e, называются натуральными логарифмами.