Доказательства тождеств

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

• Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

 

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

 

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

 

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

 

                                                                  Способы доказательства тождеств

​

• Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.

• Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.

• Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.

• Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

• Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

 

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

 

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

 

                                                           Рассмотрим несколько простых примеров

 

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

Имеем,

• x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

 

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

• x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

 

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

 

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

 

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

Получим,

• (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

 

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.