Решение задач с помощью систем уравнений

Уметь решать системы линейных уравнений это очень хорошо, но само по себе решение систем уравнение - это лишь метод для более сложных задач. С помощью систем уравнений можно решать различные задачи, которые встречаются нам в жизни. 

 

Алгебра - это наука о решении уравнений и систем уравнений. Именно таким определением пользовались ученые  к концу 20 века.

 

Известный ученый Рене Декарт известен одним из своих трудов, который называют «Метод Декарта». Декарт  положил, что любую задачу можно свести к математической, любую математическую задачу можно свести к алгебраической системе уравнений. А любую систему можно свести к решению одного уравнения. 

 

К сожалению, Декарт не успел полностью закончить свой метод, написал не все его пункты, но идея очень хорошая. 

 

И теперь и мы, подобно Декарту, будем решать задачи с помощью систем уравнений, конечно, не любые, а только те, которые можно свести к решению систем линейных уравнений.

 

                                       Общая схема решения задачи с помощью систем уравнений

 

Опишем общую схему решения задач с помощью систем уравнений:

• 1. Для неизвестных величин вводим определенные обозначения и составляем систему линейных уравнений.

• 2. Решаем полученную систему линейных уравнений.

• 3. Использую  введенные обозначения, записываем ответ.

 

Попробуем применить данную схему на конкретной задаче.

 

Известно что, два карандаша и три тетради стоят 35 рублей, а две тетради и три карандаша стоят 40 рублей. Необходимо выяснить, сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей.

 

Решение:

Нам необходимо найти, сколько стоит по отдельности один карандаш и одна тетрадь. Если такие данные у нас будут, то решить, сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей, не составит труда.

 

Обозначим за х цену одного карандаша в рублях. А у - цена одной тетради в рублях. Теперь внимательно читаем условие и составляем уравнение.

«два карандаша и три тетради стоят 35 рублей»  значит

• 2*x+3*y = 35;

«две тетради и три карандаша стоят 40 рублей» следовательно 

• 3*x+2*y = 40;

 

Получаем систему уравнений:

{2*x+3*y = 35;
{3*x+2*y = 40;

 

С первым пунктом покончено. Теперь необходимо решить полученную систему уравнений любым из известных способов.

 

Решив, получаем х=10, а y=5. 

 

Вернувшись к исходным обозначениям имеем, цена одного карандаша 10 рублей, а цена одной тетрадки 5 рублей.

Осталось посчитать, сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадок. 5*10+6*5=80.

Ответ: 80 рублей.