Разложение разности квадратов на множители

Уже известно, что существует формула произведения разности двух выражений на их сумму.

​

• Вот она: (a+b)*(a-b) = a2 – b2;

 

Если в приведенной выше формуле поменять местами левую и правую части, получим следующее выражение: a2 – b2 = (a+b)*(a-b);

 

Полученное выражение называется «формулой разности квадратов». Оно является тождеством, так как оно справедливо для любых математических выражений (чисел, многочленов и др.). 

 

                                                              Формула разности квадратов

​

• a2 – b2 = (a+b)*(a-b);

 

Разность квадратов двух любых выражений тождественно равна произведению суммы и разности данных двух выражений.

 

Данное тождество очень сильно упрощает произведение вычислений и преобразование выражений. Оно может помочь так же в разложении многочлена на множители. Рассмотрим, как происходит разложение разности квадратов на множители на небольшом примере.

 

Пример 1.

Разложить на множители:  25-x2;

Заметим, что 25 = 52;

Тогда 52 – x2 = (5+x)*(5-x);

Ответ:  (5+x)*(5-x)

Теперь рассмотрим более сложный пример.

 

Пример 2.

Разложить на множители:  36*x4 – 49*y6;

Заметим, что 36*x4=(6*x2)2 и  49*y6 = (7*y3)2;

Тогда 36*x4 – 49*y6=(6*x2)2 - (7*y3)2 = (6*x2 + 7*y3)*( 6*x2 - 7*y3);

Ответ:  (6*x2 + 7*y3)*( 6*x2 - 7*y3);