Квадрат суммы и разности двух выражений

Общее правило умножение многочленов гласит, что необходимо каждый член многочлена умножить на каждый член другого многочлена, и полученные произведения сложить.

 

                                                             Формулы сокращенного умножения

 

Но существует несколько случаев, когда умножение производить полностью не надо, а существуют уже готовые формулы, называемые в алгебре формулами сокращенного умножения многочленов или просто формулами сокращенного умножения.

 

Произведем умножение двух многочленов (a+b) и (a+b) или по-другому возведем многочлен (a+b) в квадрат.

 

Воспользуемся общим правилом умножения многочленов:
(a+b)^2 =(a+b)*(a+b)= a^2 + a*b +b*a +b^2 = a^2 +2*a*b + b^2;

 

Следовательно (a+b)^2 = a^2 +2*a*b + b^2;

 

Данная формула называется квадратом суммы двух выражений. Она поможет нам быстро возводить в квадрат сумму любых двух выражений.

 

                                                                 Квадрат суммы двух выражений

 

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе выражение и плюс квадрат второго выражения.

 

Данное выражение было получено уже давно и доказано (при положительных значениях) еще Евклидом в его «Началах». Он доказал это геометрически, рассматривая площадь квадрата со стороной (a+b).

 

                                                                 Квадрат разности двух выражений

 

Попробуем теперь вычислить произведение других двух многочленов: (a-b) и (a-b) или по-другому возведем многочлен (a-b) в квадрат.

 

Опять же воспользуемся общим правилом умножения многочленов:
(a-b)^2 =(a-b)*(a-b)= a^2 - a*b -b*a +b^2 = a^2 - 2*a*b + b^2;

 

То есть (a-b)^2 = a^2 -2*a*b + b^2;

 

Это еще одна формула, которая позволит нам возводить в квадрат разность двух любых выражений. 

 

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе выражение и плюс квадрат второго выражения.

 

Так же следует отметить, что точно такое же выражение можно получить и с помощью первой формулы, если представить разность (a –b) в виде суммы (a + (-b)). Удостоверимся в этом.
(a+(-b))^2 =(a+(-b))*(a+(-b))= a^2 + 2*a*(-b) +(-b)^2 = a^2 - 2*a*b + b^2;

 

Видно, что получилась эквивалентная формула.

 

Попробуем применить одну из этих формул на каком-нибудь простом примере.

 

Возведем в квадрат многочлен (5*x +3)^2 .
Имеем: 
(5*x +3)^2 =
(5*x)^2 + 2*3*5*x + 3^2 =
25*x^2 + 30*x +9.

Таким образом, мы рассмотрели возведение в квадрат суммы и разности двух выражений.