Разложение на множители
Представим в виде многочлена квадрат суммы некоторых выражений a и b: (a + b)^2 = (a + b)*(a + b) = a^2 + a*b + a*b + b^2 = a^2 + 2*a*b + b^2
Формула квадрата суммы и квадрата разности
Получившееся тождество называют формулой квадрата суммы двух выражений.
Итак, квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения. Выражение a^2 + 2*a*b + b^2 называют полным квадратом суммы выражений a и b.
Теперь представим в виде многочлена разность выражений a и b:
(a b)^2 = (a b)*(a b) = a^2 a*b a*b + b^2 = a^2 2*a*b + b^2
Это тождество называют формулой квадрата разности двух выражений a и b. Кстати, из него следует, что (a b)^2 = (b a)^2 . Выражение a^2 2*a*b + b^2 называют полным квадратом разности выражений a и b.
Квадрат суммы нескольких слагаемых
Представляя в виде многочлена выражения (a + b + c)^2, (a + b + c + d)^2, получаем:
(a + b + c)^2 = a^2 + (b+c)^2 + 2*a*(b+c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2*a*b + 2*b*c + 2*a*c;
(a + b + c + d)^2 = (a+b)^2 + (c+d)^2 =2*(a+b)*(c + d) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2*a*b + 2*a*c + 2*a*d + 2*b*c + 2*b*d + 2*c*d
Существует общая формулировка для возведения в квадрат суммы нескольких слагаемых, а именно: квадрат суммы нескольких выражений равен сумме квадратов этих выражений и удвоенных произведений каждых двух из этих выражений.
Если в формуле квадрата суммы двух выражений или в формуле квадрата разности двух выражений поменять местами левую и правую части, то получается формула, позволяющая раскладывать на множители трёхчлены вида a^2 + 2*a*b + b^2 и a^2 + 2*a*b + b^2.
Способ нахождения квадрата большого числа
Иногда формулу квадрата суммы или квадрата разности используют для того, чтобы найти квадрат некруглого числа. Например, требуется найти квадрат числа 199. Представим 199 как 200 1 и возведём эту разность в квадрат:
(200 1)^2 = 200^2 2*200*1 + 1^2 = 40000 400 + 1 = 39601, то есть 199^2 = 39601.
Рассмотрим пример. Разложите многочлен на множители:
8x^2 24*x + 10
Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2:
8x^2 24x + 10 = 2*(4x^2 12x + 5)
Представим 5 как 9 4:
2(4x^2 12x + 5) = 2(4x^2 12x + 9 4)
Представим 9 как 3^2, а 4 как 2^2:
2(4x^2 12x + 9 4) = 2(4x2 12x + 3^2 4^2)
Разложим на множители полный квадрат разности 2х и 3:
2(4x^2 12x + 3^2 4^2) = 2((2x 3)^2 2^2)
Разложим разность квадратов выражений 2x 3 и 2 по формуле сокращённого умножения:
2((2x 3)^2 2^2) = 2((2x 3) 2)((2x 3) + 2) = 2(2x - 5)(2x 1)
Рассмотрим ещё один пример. Разложите многочлен на множители:
2x^2 + 28xy + 80y^2 + 36yz + 18z^2
Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2:
2x^2 + 28xy + 80y^2 + 36yz + 18z^2 = 2(x^2 + 14xy + 40y^2 + 18yz + 9z^2)
В скобках выделим полный квадрат разности x 7y:
2(x^2 + 14xy + 40y^2 + 9y^2 - 9y^2 - 18yz - 9z^2) = 2((x^2 + 14xy + 49y^2) - 9y^2 - 18yz - 9z^2)
Представим его в виде квадрата двучлена:
2((x^2 + 14xy + 49y^2) - 9y^2 - 18yz - 9z^2) = 2((x + 7y)^2 - (9y^2 + 18yz + 9z^2))
Теперь выделим полный квадрат суммы 3y + 3z и представим его в виде квадрата двучлена:
2((x + 7y)^2 - (9y^2 + 18yz + 9z^2)) = 2((x + 7y)^2 - (3y + 3z)^2)
Теперь разложим разность квадратов в скобках по формуле разности квадратов:
2((x + 7y)^2 - (3y + 3z)^2) = 2(x + 7y + 3y + 3z)*(x + 7y - 3y - 3z) = 2(x + 10y + 3z)*(x + 4y - 3z).