Разложение на множители суммы и разности кубов

Для разложения на множители суммы кубов нужно использовать одну из формул сокращенного умножения. Она имеет название «сумма кубов»:
a^3 +b^3 = (a+b)*(a^2 – a*b +b^2);

 

                                                                              Сумма кубов

 

Мы можем проверить это тождество. Для этого перемножим два многочлена стоящих в правой части тождества (a+b) и (a^2 – a*b +b^2). Воспользуемся правилом умножения многочленов и перемножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Имеем:

(a+b)*(a^2 – a*b +b^2) =a^3 – a^2*b + a*b^2 + a^2*b – a*b^2 + b^3;

 

Теперь приводим подобные и получаем:

(a+b)*(a^2 – a*b +b^2) = a^3 + b^3;

 

Что и требовалось доказать.

 

Возможно, что вы уже обратили внимание на множитель (a^2 – a*b +b^2). Он похож на трехчлен, который получается при возведении в квадрат выражения (a-b). Отличие лишь в том, что в данном случае, вместо удвоенного произведения стоит просто произведение.

 

Такое выражение a^2 – a*b +b^2 в математике принято называть неполным квадратом разности двух выражений.

 

Исходя из всего вышесказанного, можем подвести следующий итог:

 

Сумма кубов любых двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат разности этих двух выражений.

 

                                                                Тождество для разности кубов

 

Для разности кубов, тоже существует свое тождество.

a^3 -b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b +b^2);

 

Данное выражение доказывается аналогично предыдущему.

(a-b)*(a^2 + a*b +b^2) = a^3 + a^2*b + a*b^2 - a^2*b – a*b^2 - b^3 = a^3 – b^3;

Трехчлен (a^2 + a*b +b^2) называется в математике неполный квадрат суммы двух выражений.

 

Учитывая всё вышесказанное, подведем итог:

 

Разность кубов двух любых выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат суммы этих двух выражений.

 

                                                                                 Примеры

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

 

Разложить многочлен x^3 + 8*y^3 на множители.

x^3 + 8*y^3 = x^3 + (2*y)^3;

 

Теперь можем применить формулу куб суммы.

x^3 + (2*y)^3 = (x + 2*y)*(x^2 – 2*x*y +4*y^2);

 

В итоге имеем: x^3 + 8*y^3 = (x + 2*y)*(x^2 – 2*x*y +4*y^2);

 

Пример 2.

 

Разложить многочлен x^6 – y^3 на множители.

x^6 – y^3 = (x^2)^3 – y^3;

 

А теперь можем воспользоваться тождеством разности кубов двух выражений.

(x^2)^3 – y^3 = (x^2 – y)*(x^4 + x^2*y +y^2);

 

В итоге имеем: x^6 – y^3 = (x^2 – y)*(x^4 + x^2*y +y^2);