Разложение на множители

Существует несколько различных способов разложения многочлена на множители. Чаще всего на практике применяется не один, а сразу несколько способов. Какого-то определенного порядка действий тут быть не может, в каждом примере все индивидуально. Но можно пробывать придерживаться следующего порядка:

 

1. Если есть общий множитель, то вынести его за скобку;

2. После этого попробовать разложить многочлен на множители, используя формулы сокращенного умножения;

3. Если после этого мы еще не получили необходимого результата, следует попытаться воспользоваться способом группировки.

 

                                                                Формулы сокращенного умножения

 

1. a^2 – b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*( a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 – b^3 = (a-b)*( a^2 + a*b+b^2);

 

Теперь для закрепления разберем несколько примеров:

 

Пример 1. 

Разложить многочлен на множители: (a^2+1)^2 – 4*a^2 

Сначала применим формулу сокращенного умножения «разность квадратов» и раскроем внутренние скобки.

(a^2+1)^2 – 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a);

 

Заметим, что в скобках получились выражения для квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. Применим их и получаем ответ.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Ответ: (a-1)^2*(a+1)^2;

 

Пример 2.

Разложить многочлен 4*x^2 – y^2 + 4*x +2*y на множители.

 

Как видим напрямую здесь никакой из способов не подходит. Но есть два квадрата, их можно сгруппировать. Попробуем.

4*x^2 – y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 – y^2) +(4*x +2*y);

 

Получили в первой скобке формулу разности квадратов, А во второй скобке есть общий множитель двойка. Применим формулу и вынесем общий множитель.

(4*x^2 – y^2) +(4*x +2*y)= (2*x – y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

 

Видно, что получились две одинаковые скобки. Вынесем их как общий множитель.

(2*x – y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*( 2*x – y)+2)= (2*x+y)*(2*x-y+2);

Ответ: (2*x+y)*(2*x-y+2);

 

Как видите, универсального способа нет. С опытом придет навык и раскладывать многочлен на множители будет очень легко.