Умножение разности двух выражений на их сумму
Общее правило умножение многочленов гласит, что необходимо каждый член многочлена умножить на каждый член другого многочлена, и полученные произведения сложить.
Но существует несколько случаев, когда умножение производить полностью не надо, а существуют уже готовые формулы, называемые в алгебре формулами сокращенного умножения многочленов или просто формулами сокращенного умножения.
Формулы
Произведем умножение двух многочленов (a+b) и (a-b) или по-другому умножим разность двух произведений на их сумму.
Воспользуемся общим правилом умножения многочленов:
(a-b)*(a+b) = a^2 + a*b -b*a – b^2 = a^2 – b^2;
Таким образом, получаем: (a-b)*(a+b) = a^2 – b^2;
Данное тождество называется разностью квадратов двух выражений.
С её помощью, мы сможем легко перемножать разность двух любых выражений на их сумму.
Тождество работает как слева направо, так и справа налево. То есть можно записать его следующим образом:
a^2 – b^2 = (a-b)*(a+b);
Квадрат разности двух любых выражений равен произведения разности этих двух выражений на их сумму.
Разность квадратов: примеры
Не следует путать это тождество с другим. Здесь у нас представлена «разность квадратов» (a^2 – b^2), а есть еще тождество называемое «квадратом разности» (a+b)^2.
Следует понимать, что в качестве a и b здесь могут стоять как числа, так и любые другие математические выражения.
Рассмотрим пару примеров, на применение тождества «разность квадратов».
Пример 1.
Найти произведение двух многочленов (3*x – 2*y^2) и (3*x + 2*y^2);
Решение:
(3*x – 2*y^2)*(3*x + 2*y^2)
Воспользуемся полученной выше формулой, получим:
(3*x – 2*y^2)*(3*x + 2*y^2) = (3*x)^2 – (2*y^2)^2 = 9*x^2 – 4*y^4;
Ответ: 9*x^2 – 4*y^4
Пример 2.
Упростить выражение 6.5*x^2 – (2*x – 3*x^2)*( 2*x + 3*x^2);
Решение:
Воспользовавшись тождеством «разность квадратов», имеем:
6.5*x^2 – (2*x – 3*x^2)*( 2*x + 3*x^2) =
6.5*x^2 – (4*x^2 – 9*x^4) =
6.5*x^2 – 4*x^2 + 9*x^4 =
2.5*x^2 – 9*x^4;
Ответ:– 9*x^4 + 2.5*x^2;