Формулы двойного угла
Формулы сложения позволяют выразить sin(2*a), cos(2*a) и tg(a) через тригонометрические функции угла a.
1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) – sin(a)*sin(b).
2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).
3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1–tg(a)*tg(b)).
Положим в этих формулах a = b. В результате получим следующие тождества:
1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).
2. cos(2*a) = (cos(a))2 – (sin(a))2.
3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a))2).
Данные тождества получили название формул двойного угла. Рассмотрим несколько примеров применения формул двойного угла.
Пример 1. Найти значение sin(2*a), зная, что cos(a) = -0,8 и a - угол 3 четверти. Решение:
Сначала вычислим sin(a). Так как угол а третья четверть, то синус в третей четверти будет отрицательным:
sin(a) = -v(1-(cos(a))2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.
По формуле синуса двойного угла имеем:
sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96.
Ответ: sin(2*a) = 0,96.
Пример 2. Упростить выражение sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a). Решение:
Вынесем за скобки sin(a)*cos(a). Получим:
sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a) = sin(a)*cos(a)*( cos(a))2 – (sin(a))2).
Теперь воспользуемся формулами двойного угла:
= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1/4)*sin(4*a).
Ответ: sin(a)*(cos(a))3 – (sin(a))3*cos(a) = (1/4)*sin(4*a).
Используя формулы двойного угла можно получить следующие выражения
1 - cos(2*a) = 2*(sin(a))2,
1 + cos(2*a) = 2*(cos(a))2.
Иногда при решении примеров бывает очень удобно использовать эти формулы. Рассмотрим следующий пример:
Пример 3. Упростить выражение (1-cos(a))/(1+cos(a)). Решение:
Применим формулы, записанные выше, для выражений (1-cos(a)) и (1+cos(a)). Для этого прежде представим угол а в виде следующего произведения 2*(a/2).
В результате преобразований получаем:
(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2))2)/(2*(cos(a/2))2),
Используя определение тангенса имеем:
(2*(sin(a/2))2)/(2*(cos(a/2))2)= (tg(a/2))2.
Ответ: (1-cos(a))/(1+cos(a) )= (tg(a/2))2.