На нём, точки Ma, M-b, M(a+b), получены поворотом точки Мо на углы a, -b, и a+b соответственно. Из определений синуса и косинуса координаты этих точек будут слеюующими: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+b) (cos(a+b); sin(a+b)).

 

УголМоОМ(a+b) = уголМ-bОМа, следовательно равны треугольники МоОМ(a+b) и М-bОМа, причем они равнобедренные.

 

А значит, равны и основания МоМ(а-b) и М-bМа. Следовательно, (МоМ(а-b))^2 = (М-bМа)^2. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, получим: 

 

(1 – cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) – cos(a))^2 + (sin(-b) – sin(a))^2.

sin(-a) = -sin(a) и cos(-a) = cos(a).

 

Преобразуем наше равенство с учетом этих формул и квадрата суммы и разности, тогда:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 – 2*cos(b)*cos(a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

 

Теперь применим основное тригонометрическое тождество:

2-2*cos(a+b) = 2 – 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

 

Приведем подобные и сократим на -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) – sin(a)*sin(b). Что и требовалось доказать.

 

Справедливы также следующие формулы:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);

• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);

• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) – cos(a)*sin(b).

 

Данные формулы можно получить из доказанной выше, используя формулы приведения и заменой b на –b. Для тангенсов и котангенсов тоже существуют формулы сложения, но они будут справедливы не для любых аргументов.

 

                                                  Формулы сложения тангенсов и котангенсов

 

Для любых углов a,b кроме a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a+b =pi/2 +pi*m, для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула: 

 

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1–tg(a)*tg(b)).

 

Для любых углов a,b кроме a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n и a-b =pi/2 +pi*m, для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула:

 

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

 

Для любых углов a,b кроме a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m и для любых целых k,n,m будет справедлива следующая формула:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

 

Для любых углов a,b кроме a=pi*k, b=pi*n, a-b = pi*m и для любых целых k,n,mбудет справедлива следующая формула:

ctg(a-b) = (ctg(a)*ctg(b) +1)/(ctg(b)-ctg(a)).