Рассмотрим небольшую задачу. Имеется некоторый прямоугольник. Его стороны равны 2см и 3 см. Каждую сторону прямоугольника увеличили на одинаковое количество сантиметров. После этого площадь прямоугольника стала больше на 12 см2. Как изменилась каждая из сторон?

 

Решение. Так как стороны увеличили на одно и тоже число, обозначим это число за х. Теперь можем записать формулы сторон нового прямоугольника.

(2+х) см и (3+х) см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, следовательно (2+х)*(3+х) см2. 

 

Исходя из условия задачи, имеем: (2+х)*(3+х)>12.

 

Раскрывая скобки, получим: х2 + 5*x+6>12 или , что эквивалентно х2 + 5*x-6>0.

Теперь разложим левую часть этого неравенства на множители, получим:

• (х+6)*(х+1) > 0.

 

По условию задачи, х положительное число. Следовательно (х+6) тоже положительное число, а значит на него можно поделить наше неравенство. Поделим обе части неравенства на (х+6).

 

Получим х-1>0. Следовательно х>1. Возвращаясь к исходным данным запишем ответ.

 

Ответ: каждую из сторон увеличили больше чем на 1 см.

 

В результате решения, мы получили неравенство х2 + 5*x-6>0. Данное неравенство называется неравенство второй степени с одной переменной. Так же его можно назвать квадратным неравенством.

 

                                   Определение неравенств второй степени с одной переменной

​

• Квадратным неравенством называется неравенство, в левой части которого стоит квадратный трехчлен, а в правой части число нуль.

Вот, несколько примеров квадратных неравенств:

• 1. х2 + 5*x-6>0

• 2. 5*х2 - 5*x+2<=0

• 3. -2*x2+34*x-18>0.

 

                                                Условие решения квадратных неравенств

 

Решением неравенства второй степени с одним неизвестным называется такое значение не известной, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Когда говорят решить неравенство, подразумевают найти все его решения, либо установить что неравенство не имеет решений.

 

Рассмотрим еще один пример.

Решить неравенство x2-5*x+6 > 0.

Решение.

Сначала решим квадратное уравнение x2-5*x+6=0, любым из известных способов. Его корни равны х=2 и х=3. 

 

Теперь разложим трехчлен x2-5*x+6  на множители. Получим

• (х-2)*(х-3).

 

Перепишем исходное неравенство

•  (х-2)*(х-3)>0.

 

Произведение двух сомножителей будет положительным, если обо сомножителя имеют одинаковый знак, то есть либо оба сомножителя больше нуля, либо оба сомножителя меньше нуля.

• Рассмотрим два случая. 

 

1. Оба сомножителя больше нуля.

Получаем систему уравнений.

{x-2>0
{x-3>0

Решаем её и получаем ответ х>3.

 

2. Оба сомножителя меньше нуля.

Получаем систему уравнений

{x-2<0
{x-3<0

Решаем её и получаем ответ х<2.

Объединяем оба полученных ответа, и записываем общий ответ.

Ответ: х3.