Одним из методов решения различных неравенств является метод интервалов. Он применяется для неравенств вида: 

• f(x)>0, 

• f(x)>=0, 

• f(x)

• f(x)

• f(x)/g(x) >0,

• f(x)/g(x)>=0,

• f(x)/g(x)<0,

• f(x)/g(x)<=0.

 

Где f(x) и g(x) это некоторые многочлены, которые разложены на простейшие множители. 

Простейшие множители, это множители вида (х-а).

Разберем метод интервалов на достаточно общем конкретном примере.

 

                                            Метод интервалов на конкретном примере

 

Пусть в результате преобразований исходного неравенства мы пришли к следующему неравенству:

(x-3)2*(x-7)3*(x+1) / (x-2)*(x+4)2  >= 0.

 

Обратите внимание, что в каждом из сомножителей переменная стоит на первом месте, то есть (х-2) а не (2-х).К такому виду всегда можно привести данные скобки умножая их на -1, и при этом не забывая менять знак.

 

Теперь нам необходимо на числовой прямой отметить все точки в которых  в числителе или знаменателе получается нуль.  Так как неравенство не строгое (>=), то  нули числителя отмечаем обычными точками,  а нули знаменателя выколотыми точками. Если бы неравенство было строгим, то все точки надо было бы рисовать выколотыми. Эти точки разбили нашу прямую на несколько интервалов.

 

Теперь надо расставить знаки. В самый правый интервал ставим знак «плюс». Далее знаки в каждом промежутке расставляются в соответствии со следующим правилом. 

• Знак меняется, если у скобки была нечетная степень.

• Знак не меняется, если у скобки была четная степень.

 

Например, у нас. Сначала был знак «плюс». Далее точка 7. Смотрим неравенство, у нас там множитель с семеркой (х-7)^3 имеет третью степень. Тройка нечетное число, значит знак меняем и записываем его над промежутком. Следующая точка 3. Смотрим неравенство. Тройка имеется в множителе (x-3)^2. Степень четная значит знак остается таким же «минус». И так продолжаем до конца, пока у каждого промежутка не будет свой знак.

 

Получится следующая картинка.