• Арифметическим корнем натуральной степени n>=2 из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

 

Можно доказать, что для любого неотрицательного а и натурального n  уравнение x^n=a будет иметь один единственный неотрицательный корень. Именно этот корень и называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

 

Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается следующим образом n√a. Число а в данном случае называется подкоренным выражением.

 

Арифметический корень второй  степени называется квадратным корнем, а арифметический корень третей степени – кубическим корнем.

 

                                      Основные свойства арифметического корня n-ой степени

​

• 1. (n√a)^n = a. 

n√(a^n) = a.

 

Например, (5√2)^5 = 2.

 

Это свойство прямо следует из определения арифметического корня n-ой степени.

 

Если a больше либора равно нулю, b больше нуля и n, m – некоторые натуральные числа такие, что n больше либо равно 2 и m больше либо равно 2, тогда справедливы следующие свойства:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

 

Например, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

 

Например, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.  

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

 

Например,7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

 

Например, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

 

Заметим, что в свойстве 2, число b может быть равным нулю, а в свойстве 4 число m  может быть любым целым, при условии, что a>0.

 

                                                                  Доказательство второго свойства

 

Все последние четыре свойства доказываются аналогично, поэтому ограничимся доказательством только второго: n√(a*b)= n√a*n√b.

 

Используя определение арифметического корня докажем что n√(a*b)= n√a*n√b.

 

Для этого докажем два факта, что n√a*n√b. Больше либо равен нулю, и что (n√a*n√b.)^n = ab.

​

• 1. n√a*n√b больше либо равно нулю, так как и а и b  больше либо равны нулю.

• 2. (n√a*n√b)^n = a*b,  так как  (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a*b.

 

Что и требовалось доказать. Значит свойство верно. Эти свойства очень часто придется использовать при упрощении выражений содержащих арифметические корни.