Если функция определена на множестве натуральных чисел N, то такая функция называется бесконечной числовой последовательностью. Обычно числовые последовательность обозначают как(Xn), где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

 

Числовая последовательность может быть задана формулой. Например, Xn=1/(2*n). Таким образом мы ставим в соответствие каждому натуральному числу n некоторый определенный элемент последовательности (Xn).

 

Если теперь последовательно брать n равными 1,2,3, …., мы получим последовательность (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …  

 

                                                             Виды последовательности

 

Последовательность может быть ограниченной или неограниченной, возрастающей или убывающей.

 

Последовательность (Xn) называет ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что для любого n принадлежащего множеству натуральных чисел, будет выполняться равенство m<=Xn

 

Последовательность (Xn), не являющаяся ограниченной, называется неограниченной последовательностью.

 

Последовательность (Xn) называется возрастающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) > Xn.

 

Другими словами, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть больше предыдущего члена.

 

Последовательность (Xn) называется убывающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) < Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

 

                                                            Пример последовательности

 

Проверим, являются ли последовательности 1/n и (n-1)/n убывающими.

 

Если последовательность убывающая, то X(n+1) < Xn. Следовательно X(n+1) – Xn < 0.

1/n:

X(n+1) – Xn = 1/(n+1) – 1/n = -1/(n*(n+1)) < 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) – Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значит последовательность (n-1)/n возрастающая.