Выражением вида a(m/n), где n – некоторое натуральное число, m – некоторое целое число и основание степени а больше нуля, называется степень с дробным показателем. Причем верным является следующее равенство.  n√(am) = a(m/n).

 

Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n – некоторое натуральное число, а m – некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами. Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

 

Для любых рациональных чисел p,q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

• 1. (ap)*(aq) = a(p+q)

• 2.  (ap):(bq) = a(p-q)

• 3. (ap)q = a(p*q)

• 4. (a*b)p = (ap)*(bp)

• 5. (a/b)p = (ap)/(bp)

 

Данные свойства широко используются при преобразовании различных выражений, где содержатся степени с дробными показателями.

 

           Примеры преобразований выражений, содержащих степень с дробным показателем

​

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этих свойств для преобразования выражений.

​

1. Вычислить 7(1/4) * 7(3/4).

• 7(1/4) * 7(3/4) = z(1/4 + 3/4) = 7.

 

2. Вычислить 9(2/3) : 9(1/6).

• 9(2/3) : 9(1/6) = 9(2/3 - 1/6) = 9(1/2) = √9 = 3.

 

3. Вычислить (16(1/3))(9/4).

• (16(1/3))(9/4) = 16((1/3)*(9/4))=16(3/4) = (24)(3/4) = 2(4*3/4) = 23 = 8.

 

4. Вычислить 24(2/3).

• 24(2/3) = ((23)*3)(2/3) = (2(2*2/3))*3(2/3) = 4*3√(32)=4*3√9.

 

5. Вычислить (8/27)(1/3).

• (8/27)(1/3) = (8(1/3))/(27(1/3)) = ((23)(1/3))/((33)(1/3))= 2/3.

 

6. Упростить выражение ((a(4/3))*b + a*b(4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a(4/3))*b + a*b(4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a(1/3) + b(1/3)))/(1/3) + b(1/3)) = a*b.

 

7. Вычислить (25(1/5))*(125(1/5)).

• (25(1/5))*(125(1/5)) =(25*125)(1/5) = (55)(1/5) = 5.

 

8. Упростить выражение 

• (a(1/3) – a(7/3))/( a(1/3) – a(4/3)) – (a(-1/3) – a(5/3))/(a(2/3) + a(-1/3)).

• (a(1/3) – a(7/3))/( a(1/3) – a(4/3)) – (a(-1/3) – a(5/3))/(a(2/3) + a(-1/3)) =

• = ((a(1/3))*(1-a2))/((a(1/3))*(1-a)) - ((a(-1/3))*(1-a2))/ ((a(-1/3))*(1+a)) = 

• = 1 +a – (1-a) = 2*a.

 

Как видите используя эти свойства, можно значительно упростить некоторые выражения, которые содержат степени с дробными показателями.