Основные тригонометрические формулы:

​

1. (sin(a))2 + (cos(a))2 = 1;

 

2. tg(a) = sin(a) / cos(a);

 

3. ctg(a) = cos(a) / sin(a);

 

4. tg(a)*ctg(a) = 1;

 

5. 1 + (tg(a))2 = 1 / (cos(a))2;

 

6. 1 + (ctg(a))2 = 1 / (sin(s))2.

 

                                          Применение основных тригонометрических формул:

​

Пример 1. Упростить выражение ((ctg(a))2)*(((cos(a))2 - 1).

 

Решение:

Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством (sin(a))2 + (cos(a))2 = 1. Исходное уравнение преобразуется к виду: ((ctg(a))2)*(-(sin(a))2).

 

Теперь воспользуемся определением котангенса: ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Следовательно, (ctg(a))2 = (cos(a))2/(sin(a))2. Наше исходное выражение преобразуется. Получим:

((ctg(a))2)*(((cos(a))2 -1) = ((ctg(a))2)*(-(sin(a))2) = ((cos(a))2/(sin(a))2)*(-(sin(a))2)= -(cos(a))2.

Ответ: ((ctg(a))2)*(((cos(a))2 - 1) = -(cos(a))2.

 

Пример 2. Упростить выражение sin(a) / 1 + cos(a) + (1 + cos(a)) / sin(a).

 

Решение:

Приведем данные дроби к общему знаменателю (sin(a))*(1+cos(a)) и выполним сложение. Имеем:

sin(a)/(1 + cos(a)) + (1 + cos(a)) / sin(a) = ((sin(a))2 + (1 + cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

 

Раскроем скобки в числителе полученной дроби:

((sin(a))2 + (1 + cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = ((sin(a))2 + 1 + 2*cos(a) + (cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

 

В числителе получили основное тригонометрическое тождество, (sin(a))2 + (cos(a))2, его можно заменить на единицу.

((sin(a))2 + 1 + 2*cos(a) + (cos(a))2) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = (2 + 2*cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

 

Выносим в числителе общий множитель 2 за скобку:

(2 + 2*cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = 2*(1 + cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))).

 

Числитель и знаменатель можно сократить на скобку (1 + cos(a)).

2*(1 + cos(a)) / ((sin(a))*(1 + cos(a))) = 2/sin(a).

Ответ: sin(a) / (1 + cos(a)) + (1 + cos(a))/sin(a) = 2 / sin(a).

 

Пример 3. Доказать тождество (tg(a))2 – (sin(a))2 = (tg(a))2*(sin(a))2.

 

Решение:

Преобразуем левую часть равенства:

(tg(a))2 – (sin(a))2 = (sin(a))2 / (cos(a))2 – (sin(a))2 = (sin(a))2*[1 / (cos(a))2 -1] = (sin(a))2*(1+(tg(a))2 -1) = (tg(a))2*(sin(a))2.

 

Получилось что правая часть равна левой, следовательно, тождество доказано.