Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:

​

• sin(a) = у, 

• cos(a) = х.

Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство

​

• (sin(a))2 + (cos(a))2 =1,

 

Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.

 

Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a))2),

• cos(a) = ±√(1-(sin(a))2).

Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.

 

Например.

Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi<a<3*pi/2.

 

Воспользуемся формулой приведенной выше:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a))2).

 

Так как pi<a<3*pi/2, это 3 четверть, то знак перед корнем будет «минус». Sin  в третьей четверти отрицателен.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a))2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

 

                       Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла

 

Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов.

 

По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

 

Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1.

 

Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим:

​

• tg(a) = 1/ctg(a),

• ctg(a) = 1/tg(a).

 

Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k.

 

Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом.

 

Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a))2.  (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы.

 

Получим следующее равенство ((sin(a))2 + (cos(a))2)/ (cos(a))2 =1/(cos(a))2.

 

Разделив почленно получаем:

• 1+(tg(a))2 = 1/(cos(a))2.

 

Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a)  не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k,  при любом целом k.