Рассмотрим следующий пример. x4=16. Мы можем записать это уравнение в следующем виде:

• x4-16=0

 

или используя формулу разности квадратов так:

• (x2-4)*(x2+4)=0.

 

Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Выражение x2 +4 не может равняться нулю,  следовательно, остается  только (x2-4)=0.

Решаем его, получаем два ответа.

Ответ: x=-2 и x=2.

 

Получили, что уравнение x4=16 имеет только 2 действительных корня. Это корни четвертой степени из числа 16. Причем положительный корень, называют арифметическим корнем 4 степени из числа 16. И обозначают 4√16. То есть  4√16=2.

 

                                                                              Определение

​

• Арифметическим корнем натуральной степени n>=2 из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

 

Можно доказать, что для любого неотрицательного а и натурального n  уравнение xn=a будет иметь один единственный неотрицательный корень. Именно этот корень и называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

 

Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается следующим образом n√a.

 

Число а в данном случае называется подкоренным выражением.

 

В случае когда n=2, двойку не пишут, а записывают просто √а.

 

Арифметические корни второй и третей степени имеют свои специальные названия.

 

Арифметический корень второй  степени называется квадратным корнем, а арифметический корень третей степени – кубическим корнем.

 

Используя только ишь определение арифметического корня, можно доказать, что n√a равен b. Для этого нужно показать, что:

• 1. b больше либо равно нулю.

• 2. bn =a.

 

Например, 3√(64) = 4, так как 1. 4>0, 2. 43 =64. 

 

Следствие из определения арифметического корня.

• (n√a)n = a. 

• n√(an) = a.

 

Например, (5√2)5 = 2.

 

                                                                  Извлечение корня n-ой степени

 

Извлечением корня n-ой степени называется действие, с помощью которого отыскивается корень n-ой степени. Извлечение корня n-ой степени является обратным действием к возведению в n-ую  степень.

 

Рассмотрим пример.

Решить уравнение x3 = -27.

 

Перепишем это уравнение в виде (-x)3=27.

 

Положим у=-х, тогда y3=27. Это уравнение имеет один положительный корень y= 3√27 = 3.

 

Отрицательных корней у этого уравнения нет, так как y3

 

Получаем, что уравнение у3 =27 имеет только один корень.

 

Возвращаясь к исходному уравнению, получаем, что оно имеет тоже только один корень x=-y=-3.

Ответ: х=-3.