Рассмотрим небольшой пример. Вычислим 4√(512).

 

Воспользуемся свойствами корня и степени числа. 512 = (53)4, следовательно, можем записать условие следующим образом:

• 4√((53)4) = (4√(53))4 = 53 = 125.

 

Таким образом получаем, что 4√(512) = 5(12/4). Так же можно показать, что, например, 

• 5√(3(-4)) = 3(-4/3).

 

                                                                       Доказательство

​

• Если n некоторое натуральное число, причем n больше либо равно 2, m – некоторое целое число, и частное m/n будет являться целым числом, то при а >0 справедливо следующее равенство: n√(am) = a(m/n).

 

Докажем этот факт. m/n – некоторое целое число (по условию), то есть в результате деления мы получим целое k (m/n = k). Тогда можно записать, что m=k*n.  Далее, применяя свойства степени и арифметического корня получим:

• n√ (am) = n√(a(n*k)) =n√((ak)n) = ak  = a(m/n).

 

То есть n√(am) = a(m/n). Что и требовалось доказать.

 

Если же при делении m на n получится не целое число, то степень вида a(m/n), где а>0,  определяют таким образом, чтобы формула написанная выше ( n√(am) = a(m/n) ), оставалась верной.

​

• То есть, формула n√(am) = a(m/n) будет справедлива для любого целого числа m, любого натурального числа n больше либо равного двум и а>0.

 

Например, 

• 16(3/4) = 4√(163) = 4√(212) = 23 = 8.

• 7(5/4) = 4√(75) = 4√((74)*7) = 7*4√7.

 

Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n – некоторое натуральное число, а m – некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами.

 

Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

 

                                                                                Особенности

​

Стоит отметить, что если рациональное число в показателе будет положительным, то выражение n√(am) будет иметь  смысл не только при положительных а, но и при а равном нулю.

• n√(0m) = 0.

 

Поэтому, в математике считается, что при m/n > 0 выполняется равенство 0(m/n) = 0.

 

Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство:

a(m/n) = a((mk)/(nk)).

 

Например, 134(3/4) = 134(6/8) = 134(9/12).