Квадратный корень из степени

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого равен a. Например, числа -5 и 5 являются квадратными корнями из числа 25. То есть, корни уравнения x^2=25, являются квадратными корнями из числа 25. Теперь необходимо научиться извлекать квадратный корень из степени.

 

Есть два основных правила:

 

                                                                        Правило №1

 

Если a>=0 и n – некоторое натуральное число, то справедливо следующее равенств: √(a^(2*n)) =a^n.

Например, √x^14 = √x^(2*7) = x^7

 

                                                                        Правило №2

 

Для произвольного числа a справедливо следующее равенство:

√a^2 = |a|.

 

Например, √(-5)^2 = |-5|=5; Кстати, следует заметить, что первая формула является частным случаем второй формулы.

 

Рассмотрим еще несколько примеров:

 

Упростить выражение √a^16.

 

Так как у нас неизвестно какие значения может принимать а, то воспользоваться первым правилом нельзя, ибо оно предназначено только для положительных а. 

Представим это выражение в виде (a^8)^2 и воспользуемся свойством два:

√a^16 =√ (a^8)^2 = |a^8|

 

Теперь раскроем модуль. Так как a^8 >=0 при любом а, то |a^8| = a^8.

Получаем, что √a^16 = a^8.

Упростить выражение √a^10, при аа у нас отрицательное, значит использовать первое правило нельзя, пользуемся вторым.

а^10= (а^5)^2.

Имеем √a^10 = |a^5|.

 

Раскрываем модуль. Так как а по условию меньше нуля, тогда и a^5 тоже меньше нуля, а значит |a^5|=-а^5.

Получаем √a^10 = -а^5, при а<0.