Теорема Виета

Для начала сформулируем саму теорему: Пусть у нас есть приведённое квадратное уравнение вида x^2+b*x + c = 0.

 

Допустим, это уравнение содержит корни x1 и x2. Тогда по теореме следующие утверждения допустимы:

 

1) Сумма корней x1 и x2 будет равняться отрицательному значению коэффициента b. 

X1+X2 = - b ;

 

2) Произведение этих самых корней будет давать нам коэффициент c . 

X1*X2 = c ;

 

                                                             Но что же такое приведённое уравнение

 

Приведённым квадратным уравнением называется квадратное уравнение, коэффициент старшей степени, которой равен единицы, т.е. это уравнение вида x^2 + b*x + c = 0. (а уравнение a*x^2 + b*x + c = 0 неприведенное).

 

Другими словами, чтобы привести уравнение к приведённому виду, мы должны разделить это уравнение на коэффициент при старшей степени (a). Задача привести данное уравнение к приведённому виду:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

 

Поделим каждое уравнение на коэффициент старшей степени, получим : 

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

 

Как можно увидеть из примеров, даже уравнения содержащие дроби, можно привести к приведённому виду.

 

                                                                     Использование теоремы Виета

 

Дальше мы должны воспользоваться теоремой Виета на практике, для этого нужно решить несколько квадратных уравнений без применения основной формулы:

 

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

 

получаем корни: x1 = 2; x2 = 3;

 

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

 

в результате получаем корни: x1 = -2 ; x2 = -4;

 

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

получаем корни : x1 = −1; x2 = −4.

 

                                                                             Значение теоремы Виета

​

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5 10 уравнений, можно научиться видеть корни сразу.

 

Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно.

 

Во всех примерах мы использовали это правило, опираясь на два важных предположения:

- приведённое уравнение, т.е. коэффициент при старшей степени равен единицы (это условие легко избежать. Можно использовать неприведенный вид уравнения, тогда будут допустимы следующие утверждения x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, но обычно сложнее решать :))

- когда уравнение будет иметь два различных корня. Мы предполагаем что неравенство верно и дискриминант строго больше нуля.

 

Поэтому, мы можем составить общий алгоритм решения по теореме Виета.

 

                                                                 Общий алгоритм решения по теореме Виета

 

 Приводим  квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде.

 

Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое,  получились дробными( не десятичными ), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

 

Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с “удобными” числами.

 

 В случае когда коэффициенты уравнения являются целыми, следует решать уравнение по теореме Виета.

 

Примечание : Если в течении нескольких секунд, нам не удаётся найти корни по теореме Виета, то следует решать через дискриминант, это зачастую бывает быстрее.