Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Основные свойства квадратного корня

 

1. Если a и b есть неотрицательные числа, то справедливо следующее равенство:

√(a*b) =√a*√b.

 

2. Если a>=0 и b>0, то справедливо следующее равенство: 

√(a/b) =√a/√b.

 

3. Для произвольного числа a справедливо следующее равенство:

√a^2 = |a|.

 

4. Если a>=0 и n – некоторое натуральное число, то справедливо следующее равенств: √(a^(2*n)) =a^n.

 

5. При любом а, для которого выражение √а имеет смысл, будет выполняться равенство: (√а)^2 = a.

 

Используя данные формулы, мы можем выполнять преобразования над выражениями, которые содержат операцию извлечения квадратного корня.

 

                                                                 Примеры преобразования

 

Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1. Упростить выражение: √(16*a^4/4b^6);

Решение: √(16*a^4/4b^6) =√(16*a^4)/ √(4b^6) = 4*a^2/2*b^3.

Ответ: √(16*a^4/4b^6) = 4*a^2/2*b^3;

Пример 2. Вынести множитель из-под знака квадратного корня: √(9*a^7*b^3);

Решение: √(9*a^7*b^3) = √(9*a^6*a*b^2*b)= √9*√a^6*√a*√b^2*√b = 3*a^3*b*√(a*b);

Ответ: √(9*a^7*b^3) = 3*a^3*b*√(a*b);

 

Пример 3. Внести множитель под знак квадратного корня: (3*a*√b)/( √ (3*a));

Решение: (3*a*√b)/ √(3*a) = ((√(9*a^2) )*(√b))/ √(3*a) = √((9*a^2*b)/3*a)= √(3*a*b);

Ответ: (3*a*√b)/ √(3*a) = √(3*a*b);

Пример 4. Выполнить действия (√a +√b)*( √a-√b);

Решение: Видим что в скобка находится сумма и разность двух выражений, поэтому применяем формулу сокращенного умножения.

Имеем: (√a +√b)*( √a-√b) =(√a)^2 –(√b)^2= a-b.