Рациональные числа

Произвольное целочисленное число b называется рациональным числом, если его возможно написать в виде b/1. Число, которое возможно написать в виде дроби b / m , где b является целым числом, а m натуральным числом, называется рациональной дробью.

 

Например

-3 = -3 / 1 ; 5 = 5/1 ; 2 = 2/1 ; 0 = 0/1 ; 48 = 48 /1 

 

                                                  Какие числа можно назвать рациональными

 

Рациональным числом может быть также и любая отрицательная дробь, если её опять же можно записать в виде, например :

- (2/4) = -2 / 4  ; -(4/8) = -4 / 8 ; -(3/1) = -3/1

Такие числа как 0,47 ; 2(2/7) - так мы будем обозначать смешанную дробь, -3,51367, ; -7,823321 , -4* (2/5).

Теперь покажем что все эти числа являются рациональными числами :

0,47 = 47 / 100 ; 2*(2/7) = 16/7 ; -3,51367 = -351367 / 100000 ; -7,823321 = - 7823321 / 1000000 ; 

-4* (2/5) = - 22/ 5

 

                                               Сумма, разность, произведение, частное рац. чисел

 

Также рациональными числами является сумма, разность и прозведение рациональных чисел:

 

Как всегда покажем на примере : - 3/7 + 4/7 = 1/7 5/8 3/4 = 5/8 6/8 = -1/8 

3/10 + 5/10 = 8/10 = 0.8

(3/6) * 3(3/4) = (3/6) * (15/4) = (45/24)

 

Если делителем является любое число отличное от нуля, то частное двух рациональных чисел является также рациональным числом .

Например: 

-0.5 / (3/7) = - (5*7) / (10*3) = -35 / 30 = - 7/6

 

                                                    Любое рациональное число в виде дроби

 

Вы уже научились представлять некоторые обыкновенные дроби в виде десятичных дробей. К примеру :

7/ 25 = 0,28 Потому что 7 делить на 25 получается 0,28 

 

Но не все обыкновенные дроби получается представить как десятичную дробь

 

Например, если нам придётся делить 2 на 3, то мы получим сначала нуль целых, а позже множество шестёрок после запятой, которые никогда не закончатся, в таких случаях обычно округляют Например : 2/3 = 0,66667…

 

Деление в этом случае просто бесконечно, оно никогда не закончится, тогда мы можем записать 1/3 = 0,333333…

 

При делении 5 на 11, можно получить 5/11 = 0,4545454545 , а при делении 1 на 15, можно получить, что 1/15 = 0.066666666...

 

В записях 0,333..., 0,4545... и 0,0666... несколько или одна цифра начинает бесконечно повторяться много много раз. Такие записи называются периодическими дробями

 

Вместо записи 0,333... обычно пишут 0,(3), вместо 0,4545... пишут 0,(45), а вместо 0,0666... пишут 0,0(6).

 

Примечание : другими словами, после того как заканчивается часть где цифры не повторяются, и начинается так называемая периодическая часть, в скобках пишут ту часть, которая в дальнейшем повторяется множество раз.

 

Получается, что абсолютно любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби (частный случай это когда дробь является целым числом, например: 3/1 = 3 ), либо если мы имеем дело с бесконечной частью дроби, тогда мы записываем в виде периодической дроби.

 

Примеры таких дробей описаны выше.

 

Для дроби 2/3 число 0,6 будет являться значением, приближенном к одной трети, которое округлено до десятых с недостатком, но 0.3 < 1/3 

 

Число 0,4 будет являться значением, приближенным к этой дроби округлённом до десятых с избытком:

0,4 > 1/3 .

 

Мы можем это записать в виде двойного неравенства : 0,3 < 1/3 < 0,4

 

Если число 5/11 = 0,454545… округлить до десятых, то получим 5/11 приблизительно равное 0,5, если это число округлить до сотых, то получим 5/11 = 0,45 , а если округлить до тысячных, то получим 5/11 = 0,455