Решение дробных рациональных уравнений

Целое выражение – это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое-либо число, отличное от нуля.

 

                                                  Понятие дробного рационального выражения

 

Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит также деление на выражения с буквенными переменными.

 

Рациональные выражения - это все целые и дробные выражения. Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая и правая части будут являться целыми выражениями, то такое рациональное уравнение называется целым. 

 

Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

 

                                                  Примеры дробных рациональных выражений

 

1. x-3/x = -6*x+19 

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

​

                                                        Схема решения дробного рационального уравнения

​

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

 

Так как мы решаем дробные рациональные уравнения, то в знаменателях дробей будут переменные. Значит, будут они и в общем знаменателе. А во втором пункте алгоритма мы умножаем на общий знаменатель, то могут появится посторонние корни. При которых общий знаменатель будет равен нулю, а значит и умножение на него будет бессмысленным. Поэтому в конце обязательно делать проверку полученных корней.

 

Рассмотрим пример:

Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

 

Будем придерживаться общей схемы: найдем сначала общий знаменатель всех дробей. Получим x*(x-5).

 

Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3); 
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

 

Упростим полученное уравнение. Получим:

x^2+3*x + x-5 – x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

 

Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5.

 

Теперь производим проверку полученных решений:

 

Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель. При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 будет являться корнем исходного дробного рационального уравнения.

 

При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю.

Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.

Ответ: х=-2.