Выделение квадрата двучлена в решении квадратных уравнений

Квадратным уравнением называют уравнение вида a*x^2 +b*x+c=0, где a,b,c - некоторые произвольные вещественные (действительные) числа, а x – переменная. Причем число а не равно 0. 

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с называют свободным членом.

 

                             Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

 

Рассмотрим способ решения квадратных уравнений выделением квадрата двучлена (в некоторых источниках, данный метод называется метод выделения полного квадрата.)

Но для начала разберемся в терминах. Решить квадратное уравнение - это означает найти все его корни либо же установить тот факт, что квадратное уравнение корней не имеет.

Корнем квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x^2 +b*x+c обращается в нуль. Иногда такого значение х называют корнем квадратного трехчлена.

 

Иначе говоря корень квадратного уравнения a*x^2 +b*x+c=0 – это значение х, подстановка которого в уравнение, обращает его в верное равенство 0=0. В общем случае, квадратное уравнение a*x^2 +b*x+c=0 может иметь два корня.

Но возможно и такое, что квадратное уравнение имеет один корень или не имеет вообще действительных корней.

 

                                                                           Алгоритм решения

 

Теперь переходим непосредственно к рассмотрению способа решения квадратных уравнений выделением квадрата двучлена. 

 

В этом способе мы будем активно использовать следующие формулы сокращенного умножения:

(a+b)^2 = a^2 +2*a*b +b^2;

(a-b)^2 = a^2 -2*a*b +b^2;

 

Будем рассматривать этот способ на приведенных квадратных уравнениях:

 

Решить уравнение x^2+10*x+25=0.

 

Видим, что в левой части многочлен можно представить в следующем виде

x^2+10*x+25 = x^2+2*5*x+5^2;

 

Заметим, что это полученное выражение, воспользовавшись формулами сокращенного умножения, можно представить как квадрат суммы двух выражений.

x^2+2*5*x+5^2 = (x+5)^2;

 

Тогда исходное выражение преобразуется к следующему виду:

(x+5)^2 =0;

 

Решить такое уравнение не составляет труда.

(x+5)=0

х=-5;

Ответ: х=-5;

 

Решим следующее уравнение: x^2+2*x-3=0;

 

Преобразуем это уравнение:

x^2+2*x=3;

 

В левой части уравнения стоит многочлен x^2+2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1.

 

Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x^2+2*x+1) -1=3

 

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

(x+1)^2 -1=3;

(x+1)^2 = 4;

 

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

 

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

 

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.