Нахождение приближенных значений квадратного корня

На практике часто приходится вычислять квадратные корни из различных чисел. Сейчас это можно сделать на калькуляторе или с помощью компьютера. Мы же рассмотрим способ, как вычислить квадратный корень из любого числа с необходимой точностью, не используя при этом компьютер, калькулятор или другие вычислительные средства.

 

Для примера, попробуем вычислить корень из числа 2, с точностью до 0.01, то есть до двух знаков после запятой.

 

                                              Посчитаем квадратный корень из числа 2

 

Будем рассуждать следующим образом. Число √2 больше 1, так как 12 < 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 22 больше 2.

 

Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,…

То есть корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.

 

Теперь попытаемся отыскать цифру десятых. Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух. Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых.

 

Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

• 1,12 =1,21; 1,22=1,44; 1,32=1,69; 1,42=1,96; 1,52=2,25.

 

Получи число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,42 меньше 2, а 1,52 уже больше двух, то число √2 должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 (1,4< √2 < 1,5).

Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… .

Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

 

Далее ищем цифру сотых, точно таким же образом.

Возводим в квадрат числа от 1,41 до 1,49, с шагом 0,01, пока не получим число большее двух.

• 1,412=1,9881, 1,422=2,0164.

 

Уже при 1.42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.

 

Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41< √2

 

Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления. √2 ≈ 1,41. Это и будет ответом.

Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.

 

Как уже и говорилось выше, данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.