Решение задач с помощью рациональных уравнений

Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями.
Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.

 

                                                  Решение дробного рационального уравнения

 

Для начала ознакомимся с дробными рациональными уравнениями. Общая схема решения дробного рационального уравнения.

1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.

 

                                                                  Примеры решения задач

 

Решение многих задач сводится к решению дробных рациональных уравнений.

 

Рассмотрим следующий пример:

 

С автобусной станции выехал автобус до железнодорожного вокзала, находящемся на расстоянии 40 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению, и поехал на железнодорожный вокзал на такси, через 10 минут после автобуса. Автобус и такси приехали на железнодорожный вокзал одновременно. Известно также, что скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Необходимо найти скорость такси и скорость автобуса.

Решение:

 

Для решения задачи, необходимо составить математическое уравнение. Положим, что х это скорость автобуса (в километрах в час).

 

Тогда скорость такси (х+20) километров в час.

 

Тогда, время за которое автобус доехал до ж/д вокзала равно 40/х часов, а время такси равно 40/(х+20) часов 

 

Исходя из условия разница между временем автобуса и такси равна 10 минутам или 1/6 часа. Так как время движения автобуса и такси у нас найдено в часах.

 

Получаем следующее уравнение: 40/х - 40/(х+20) = 1/6.

 

Это уравнение является дробным рациональным уравнением. Решаем его по общей схеме, приведенной выше:

Общий знаменатель равен 6*x*(x+20).

 

Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем

40*6*(x+20) – 40*6*x = x*(x+20);

 

Упростим это выражение.

Получим: 240*x +4800- 240*x = x^2 +20*x;

x^2+20*x-4800 = 0;

 

Получили квадратное уравнение. Решая его одним из известных нам способов получаем, что его корни равны x=60 и x =-80.

 

Теперь необходимо осуществить проверку найденных корней.

 

При х=60 общий знаменатель не равен нулю.

 

При х=-80 общий знаменатель так же не равен нулю.

 

Из этого следует, что оба корня подходят и являются решением дробного рационального уравнения.

 

Возвращаемся к условию задачи. У нас х это скорость движения автобуса. Но скорость автобуса не может быть отрицательным числом, и следовательно значение х=-80, не подходит. Значит х=60, скорость автобуса равна 60 километрам в час. А следовательно, скорость такси равна 80 км/ч.

Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.