Вынесение и внесение множителя из под корня

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого равен a.

Например, числа -5 и 5 являются квадратными корнями из числа 25. То есть, корни уравнения x^2=25, являются квадратными корнями из числа 25.

√(a*b) =√a * √b

 

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел.

 

Используя это правило, мы можем научиться выполнять еще два полезных действия с корнями: вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

 

                                                     Вынесение множителя из-под корня

 

Пусть дано некоторое выражение √(a^2*b). При этом a и b неотрицательные числа. Тогда по правилу корня от произведения можно записать следующее выражение:

√(a^2 * b) =(√a^2) * (√b)= a * √b;

 

Такой тип преобразований называется вынесение множителя из-под знака корня.

 

Рассмотрим пример. Упростить выражение 2 * √27 + √12.

Решение: 2 * √27 + √12 = 2 * √(9*3) + √(4*3) = 6 * √3 + 2 * √3 = 8 * √3.

Ответ: 8 * √3.

 

                                                       Внесение множителя под знак корня

 

Как уже отмечалось выше, существует операция внесение множителя под знак корня.

Эта операция является обратной к операции вынесение множителя из-под знака корня. В данном случае мы осуществляем преобразование следующего вида:

a*√b = √(a^2 * b);

 

Необходимо соблюдать условие, что a и b неотрицательные числа. Иногда такое преобразование очень может пригодится.

 

Рассмотрим пример: Упростить выражение: 3 * a * √(b/a) - 2 * b * √(a/b), где a,b – положительные числа.

 

Решение: Внесем под знак корня положительные множители a,b. Получим следующее выражение:

3 * a * √(b/a) - 2 * b * √(a/b) = 3 * √(a^2 * (b/a)) - 2 * √(b^2 * (a/b));

 

Сократим дроби и приведем подобные.

3 * √(a^2 * (b/a)) - 2 * √(b^2 * (a/b)) = 3 * √(a*b) – 2 * √(a*b) = √(a*b);

Ответ: √(a*b).